Entre toutes les passions de l'esprit humain, l'une des plus violentes, c'est le désir de savoir» Bossuet(1). Les mathématiques sont indispensables dans la vie courante, où on a besoin d'optimiser, de prévoir, d'étudier des structures difficiles et complexes, de calculer des risques, d'évaluer une rentabilité, de faire de la psychologie, etc. Toutes les spécialités des mathématiques sont impliquées dans l'économie, l'industrie, le transport, etc. Les algorithmes sont appliqués dans l'informatique, les équations différentielles dans l'automatisme... La mathématique est elle-même une science et un outil de résolution des problèmes dans les autres sciences. Les problèmes difficiles que lui soumettent ces dernières élèvent sans cesse le niveau des mathématiques appliquées, grâce aussi au développement fulgurant des ordinateurs et de leur puissance de calcul. Les mathématiciens n'étudient pas des objets, mais des relations entre les objets, il leur est donc indifférent de remplacer ces objets par d'autres, pourvu que les relations ne changent pas. La matière ne leur importe pas, la forme seule les intéresse. Dans les pays développés, les mathématiques constituent un des pôles d'excellence de l'université. Les options de mathématiques sont de plus en plus utilisées dans la recherche et sont offertes dans beaucoup d'universités. La tâche principale d'un mathématicien est d'élaborer des modèles et des méthodes de résolution des problèmes. De ce caractère abstrait des mathématiques, un enfant est susceptible de les apprendre sans être incapable de devenir sage. Comme la mort est «cérébrale», c'est l'esprit qui est la vie.
1. Apprendre les mathématiques La mathématique contribue à une œuvre de clarté. Nous constatons un déclin croissant d'intérêt pour les mathématiques dès le secondaire, où rares sont les lycées disposant d'une classe de mathématiques. Les mathématiques suscitent une anxiété chez beaucoup d'élèves de collège, lycée et d'étudiants de l'université scientifique. L'échec de nombreux étudiants dans les premières années de leur cursus scientifique est une préoccupation. Pourtant, on ne peut résumer l'explication au fait que ceux qui échouent seraient a priori moins motivés que les autres. Une hypothèse, même si elle explique beaucoup de faits, peut toujours être remise en deux questions(2). Un exercice est défini comme un prétexte pour apprendre, asseoir ou vérifier une acquisition du savoir. Un exercice d'application de mathématiques se présente comme une occasion de réinvestir une notion précédemment définie, il vise l'application d'une notion. «On n'attend rien d'autre de l'exercice mathématique que d'accoutumer son esprit à se repaître de vérités et ne se contenter point de fausses raisons».(3) Plus difficile qu'un simple exercice d'application directe, un problème est l'occasion pour un étudiant de mettre en œuvre, d'une façon adaptée, un certain nombre de notions qui doivent faire partie de ses acquis. La résolution de problèmes doit occuper une place importante dans les apprentissages mathématiques. Les matheux sont destinés aux études longues et sont les plus nombreux à vouloir poursuivre leurs études de doctorat. Dans le raisonnement mathématique, on cherche, on calcule. «Calculer» est une obsession séculaire. Les démonstrations s'imposent nécessairement à l'intelligence. Les problèmes de motivation chez les étudiants en mathématiques consistent en un désintérêt, ennui, une baisse de motivation, démotivation, décrochage, violence…auxquels sont confrontés les enseignants universitaires. Une motivation est que les étudiants doivent avoir un projet. De nos jours, l'internet est une forme non scolaire d'acquisition du savoir et arrive même à concurrencer l'université. «Sur les objets dont on se propose l'étude, il faut chercher non pas les opinions d'autrui ou ses propres conjectures, mais ce que l'on peut voir clairement, avec évidence, ou déduire avec certitude, car la science ne s'acquiert pas autrement»(3). Dans les matières non scientifiques, dans un amphithéâtre, l'enseignant a la parole, mais les étudiants sont condamnés au silence. Les étudiants sont obligés de suivre les cours d'un professeur en vue de leur future carrière et aucune personne présente dans la salle de cours ne peut critiquer le maître. Par contre, en mathématiques, les étudiants suivent les démonstrations et l'enseignant est tenu à ne pas raconter de «bobards», sinon il sera remis dans le bon et droit chemin de la démonstration. Les étudiants de mathématiques n'ingurgitent rien sans démonstration ou justification. Il me semble que les étudiants ont un besoin de contact avec les mathématiques pratiques et appliquées pour se motiver à apprendre. Parfois, les mathématiques sont mal enseignées dans tous les niveaux, moyen, secondaire et supérieur. Des étudiants assimilent difficilement les concepts fondamentaux de la mathématique, connaissent mal les problèmes qu'elle soulève et développent peu l'esprit scientifique. La mathématique est devenue une spécialité de «relégation». L'étudiant qui se sent compétent à bien faire ses travaux de mathématiques, qui choisit d'aller en mathématiques, qui est prêt à sacrifier du temps pour réussir ses modules de mathématiques et qui se sent accepté et soutenu par ses enseignants présente une motivation élevée et a toutes les chances de persévérer et d'obtenir sa licence de mathématiques. 2. L'école française de mathématiques : une référence internationale La motivation mathématique des étudiants ne relève pas que des enseignants. Des actions concertées entre les familles, les enseignants, les milieux professionnels et l'Etat peuvent inverser la tendance. Il faut trouver les moyens pour rendre plus attrayant l'apprentissage de la mathématique. La communauté de mathématiciens doit servir de modèle. L'école française de mathématiques est parmis les trois premières au rang international. La France est le pays natal de Pascal, Descartes, d'Alembert, Cauchy, etc. C'est une idée puérile de croire qu'un mathématicien assis à sa table de travail pourrait parvenir à un résultat quelconque utile pour la science en manipulant simplement une règle ou une machine à calculer [(4), p.16], de nos jours un micro-ordinateur. Comment s'assurer de la validité d'un résultat mathématique ? «En écrivant sa démonstration !», répondent depuis plus de 2500 ans les mathématiciens. Cette certitude est difficile à obtenir en pratique. Les démonstrations sont ces raisons certaines et évidentes. La motivation à apprendre les mathématiques, qui doit se faire dès le collège, s'exprime par l'effort, la persévérance au travail, la manifestation d'intérêt, l'assiduité, etc. Nous ne pouvons accomplir un travail sans espérer en même temps que d'autres iront plus loin que nous. En principe, ce progrès se prolonge à l'infini [(4) p.19]. Benoît Mandelbrot, un éminent mathématicien français contemporain, voyait le paysage mathématique comme une grande ville avec de belles demeures, des vieux palais, des petites masures et des quartiers entiers à reconstruire. Il reconnaît aussi que les mathématiques retrouvent un aspect tactile et reprennent contact avec le monde. Il pense aussi qu'en mathématiques, on peut passer cinquante ans sans toucher terre, mais on se fatigue(5). 3. Quelques applications des mathématiques -a. Les expériences mathématiques de l'antiquité hellénique ont été menées à des fins de technique militaire ou du Moyen-Age en vue de l'exploitation des mines [(4), p.24]. -b. Depuis l'Antiquité, les mathématiques sont censées être le royaume de la certitude : en accompagnant un résultat de sa démonstration, le mathématicien ne permet-il pas au lecteur de vérifier mécaniquement la validité du raisonnement ? Mais la complexité et la longueur des démonstrations modernes, ainsi que le recours fréquent aux calculs informatiques, rendent cette vérification de plus en plus délicate, voire quasi impossible. Sauf si l'ordinateur lui-même s'en charge. Un langage formel est un ensemble de mots et de règles de syntaxe qui, contrairement aux langages naturels, permettent de communiquer sans ambiguïté. Issus de travaux de logique du XIXe siècle, ils servent aujourd'hui à programmer les ordinateurs. En 1913, Russel et Whitehead ont tenté de traduire toutes les mathématiques en un langage formel. En traduisant les démonstrations dans un langage formel issu de l'informatique, les mathématiciens ont l'espoir de confier à l'ordinateur la tâche ingrate et mécanique de vérification(5). -c. Les fractales sont d'étranges arabesques découvertes par Benoît Mandelbrot. Elles sont connues pour leur beauté et se révèlent aujourd'hui indispensables pour modéliser les phénomènes naturels. Elles sont étudiées pour prévoir les événements extrêmes, élucider la formation des galaxies, mélanger les produits, prévoir les crues des fleuves, insonoriser les autoroutes, comprendre le fonctionnement du poumon, analyser les images numériques(5). -d. Comment reconnaissons-nous les objets que nous voyons ? C'est une question qui se trouve dans une problématique en intelligence artificielle. Des mathématiciens du Ceremade (Centre de recherche des mathématiques de la décision de l'université Paris IX) et des îles Baléares viennent de mettre au point une nouvelle procédure de reconnaissance d'image. Notre aptitude à «comprendre» une image complexe découle de notre capacité à y reconnaître quels objets sont partiellement cachés ou ombrés par d'autres objets. Lorsqu'un objet en cache un autre, la superposition détermine à leur croisement un point de jonction en forme de T. Lorsqu'il y a projection d'une ombre sur un objet, les jonctions sont en X(6). -e. L'ordinateur est né d'une obsession : calculer. Additionner, soustraire, diviser, multiplier sont parmi les tâches les plus fastidieuses qui soient. Le comptage d'une population, le calcul des impôts… mettaient en jeu des milliards d'opérations et mobilisaient des armées de petites mains. Les inventeurs et théoriciens de mathématiques, dès le XVIe siècle, ont pensé confier le calcul à des machines «arithmétiques». Le micro-ordinateur est né d'une utopie. Celle d'une société plus libre, plus égalitaire, qui mit en effervescence les universités de la côte-ouest des Etats-Unis pendant et après la guerre du Vietnam(7). -f. Avant d'être constituée en une spécialité à part entière des mathématiques, la théorie des graphes était un outil pour l'étude des circuits électriques (lois de Kirchhoff), l'agencement des atomes dans une molécule, et a été utilisée en psychologie et en économie. Aujourd'hui elle est devenue une des branches les plus florissantes des mathématiques et intervient dans la plupart des problèmes de nature combinatoire ou même d'algèbre les plus classiques. Elle aborde des domaines variés telles les notions de nombre de domination, de noyaux d'un graphe, de stabilité et de coloration qui sont très étudiés en ce moment. 4. Conclusion Il est vrai, la mathématique se fait avec la tête. Il faut assurer une relève scientifique capable de répondre aux besoins croissants des universités. Des réticences à la professionnalisation de cette matière en dehors du modèle éducatif et universitaire sont constatées. Savez-vous que beaucoup de villes universitaires algériennes ne disposent même pas d'une librairie scientifique ? Devant l'immobilisme, l'inertie des esprits et la nonchalance des universitaires, j'espère que d'autres contributions des centres pédagogiques de mathématiques tels ceux de l'USD Blida, l'USTHB, l'USTO, l'université d'Es Sénia, l'université de Constantine I, les autres universités du pays ou de l'Ecole normale supérieure de Kouba à Alger viendront enrichir ce débat sur les mathématiques. Les responsables de ce dernier établissement, dans un écrit sur Internet au mois de septembre, n'ont-ils pas fait l'éloge de Laurent Lafforgue, éminent mathématicien français, médaillé Fields ? Cette médaille n'est décernée qu'aux jeunes mathématiciens de moins de quarante ans. Pourquoi les chercheurs en mathématiques ne «vulgarisent-ils» pas par des écrits dans la presse leurs résultats scientifiques, au moins pour éclairer les «cavernes» de l'ignorance ? A. D.
Références -1) J.-Roger Charbonnel Bossuet. Oraisons funèbres et sermons. I. Larousse-Paris. 1942. -2) Pascal. Pensées. Texte établi par Léon Brunschvicg, GF Flammarion, 1976. -3) René Descartes. Discours de la méthode. Texte présenté et annoté par Jean Costilhes. 1966, Nouveaux classiques, Hatier, p.85. -4) Max Weber. Le savant et le politique, suivi de : essai sur la neutralité axiologique. Enag/Editions 1991. -5). Hervé Poirier. Exploration/Rencontres. Un entretien avec Benoît Mandelbrot. Science & Vie en pratique. N° 1056, septembre 2005, pp.124-125. -6) R.I. Actualité Recherche. Intelligence artificielle. Et les Robots verront. Science & Vie. N° 942, mars 1996, p.8. 7. Leila Haddad. L'ère informatique. Comment l'esprit vint aux machines. Science & Vie. N° 982, juillet 1999, p.148-153.
