« Mille bougies peuvent s'allumer avec une seule bougie, et la vie de cette bougie n'en est pas abrégée». [1] Des titres d'articles dans les quotidiens nationaux s'intitulaient : Ghardaïa : la quadrature du cercle. L'instabilité persiste ... ; la quadrature du cercle pour obtenir un toit, etc. Connait-on réellement cette notion de quadrature, une notion géométrique ? Sa signification est qu'un problème est impossible à résoudre ou un projet est irréalisable, un archétype de problème insoluble. On peut construire à la règle et au compas toutes sortes de droites, de cercles et de points. On peut construire des perpendiculaires et des parallèles, des médianes, des médiatrices, des bissectrices... Qu'est-ce qui distingue ce qui peut être construit à la règle et au compas de ce qui ne peut pas l'être ? La quadrature est l'opération qui consiste à construire un carré de surface rigoureusement équivalente à celle d'une figure délimitée par cette courbe fermée qu'on appelle un cercle, le tout à l'aide d'une règle et d'un compas [2]. D'une façon plus claire, étant donné un cercle, dessiné sur une feuille de papier, construire en utilisant uniquement une règle et un compas, un carré dont la surface est égale à celle du cercle. Si ce cercle est de rayon R, le carré doit être de côté ÖPr. 1. Un problème classique de mathématiques apparaissant en géométrie La quadrature du cercle est un problème classique de mathématiques apparaissant en géométrie. Il fait partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la trissection de l'angle (construire un angle égal au tiers d'un angle donné) et la duplication du cube (construire un cube de volume double de celui d'un cube donné) [2]. Wantzel (1814-1848) mettait ainsi un point final en résolvant ces deux derniers problèmes célèbres hérités des Grecs. Il n'est pas de problème plus longtemps ouvert dans l'Histoire des Mathématiques que celui de la quadrature du cercle. De quand date-t-il ? On ne le sait ; on sait seulement que les Grecs, experts en géométrie, s'y sont cassés les dents pendant des siècles et ont créé, pour tenter de le résoudre, des objets nouveaux qui ont permis une approche, ou une solution partielle, mais n'ont jamais réussi à refermer le problème sur une solution qui apaise les esprits définitivement. Il est probable que ce problème soit plus ancien que la science grecque, et, en particulier, que les Egyptiens se le soient posé. Il faudra encore passer les importantes découvertes de la Renaissance et des XVIIIième et XIXième siècles pour qu'on ose affirmer enfin : nous connaissons la réponse à cette question. Le problème a tellement étonné qu'il a donné une expression : c'est la quadrature du cercle, synonyme pour les uns de : c'est impossible et pour les autres de : c'est extrêmement difficile. Du début du XVIIeme siècle, René Descartes (1596-1650) en donna une solution dans les années 1625-1628 dont il déclara lui-même qu'elle n'était pas acceptable. La réponse fut donnée en 1837 par Pierre-Laurent Wantzel, âgé à peine de 23 ans. Effectivement, la quadrature du cercle est impossible, et la démonstration définitive a été donnée en 1882 par Carl von Lindemann (1852-1939). Ceci n'empêche pas de nombreux amateurs peu au fait des mathématiques d'essayer encore et encore, et de proposer leurs solutions (fausses bien sûr). Au point que l'Académie des Sciences a dû déclarer que désormais elle refuserait d'examiner tout mémoire portant sur la quadrature du cercle. 2. Le cinquième postulat d'Euclide Trois siècles avant notre ère, Euclide bâtissait la géométrie plane sur cinq postulats spécifiques [3]. a. Par deux points passe une et une seule droite ; b. Etant donnés deux segments de droite, on peut prolonger le premier par un segment qui a la longueur du second ; c. Il existe toujours un cercle dont on donne le centre et un point ; d. Tous les angles droits sont égaux ; e. Par un point non situé sur une droite, il passe au plus une parallèle à cette droite. C'est ce dernier postulat, formulé par David Hilbert, qui a été une des pierres angulaires de la géométrie plane. Il n'a donc rien d'évident et doit être démontré. Euclide a reconnu qu'il ne savait pas le démontrer. Des tentatives de démonstration sont faites vers 150 après J.C par Claude Ptolémée, dont l'argumentation s'avère très complexe. Trois siècles encore, Proclus écrit des commentaires sur l'oeuvre d'Euclide. Le persan Nasr el Din tenta un raisonnement par l'absurde. John Wallis, un anglais, au XVII siècle, propose un postulat plus simple : La somme des angles d'un triangle est égale à celle de deux droits. Il a fallu plus de 2000 ans de réflexion et les travaux de Nicolas Lobatchevski pour comprendre toutes les implications du cinquième postulat. Une géométrie défiant le bon sens est née, qui nous gouverne encore. Ce dernier postulat peut ne pas être vrai dans la « sphère » ou pratiquement sur un « poing de la main » qui sont situés dans un espace dit de dimension trois. Le cinquième postulat ne se vérifie pas dans la sphère et on peut faire passer par un point qui n'est pas situé sur une droite, plusieurs et même une infinité de droites parallèles, au sens où elles ne se croisent pas avec la première. Les formules de la trigonométrie plane ne sont pas vraies dans une sphère, d'autres formules de trigonométrie sphérique existent et même la somme des angles d'un triangle dans l'espace peut dépasser les 180Ú, etc. Un théorème de la géométrie non euclidienne stipule que si un quadrilatère a trois angles droits, le quatrième est nécessairement aigu ! Elle peut heurter les esprits sensibles. Une géométrie non euclidienne est formulée dès 1827, aussi cohérente, tout aussi mathématiquement vraie. Il s'agit de la géométrie du russe Lobatchevski. L'une et l'autre sont des cas particuliers d'une géométrie plus générale élaborée par Bernhard Riemann. Dès 1794, Carl-Friedrich Gauss, alors âgé de 17 ans, avait démontré les principaux théorèmes de la géométrie non euclidienne. Il n'avait pas diffusé ses travaux qui les avaient gardés par devers lui. Bien plus tard en 1827, Lobatchevski fut effectivement le premier à rendre publique la géométrie non euclidienne, mais non la faire accepter. En 1872, l'Allemand Félix Klein donnait une définition précise de « géométrie », en classait les diverses acceptations et acceptait la géométrie non euclidienne. Comme la terre est ronde, nos ancêtres croyait que les habitants de l'hémisphère sud marchaient sur la tête, que la droite qui relie deux points était la plus courte distante. Ce résultat est vrai dans le plan, la ligne géodésique est la plus courte dans la sphère. Après la mort de Gauss en 1855, Bernhard Riemann, un de ses élèves, généralise les géométries d'Euclide et de Lobatchevski qui s'appellera désormais riemannienne. La géométrie euclidienne n'est plus qu'une géométrie parmi d'autres. La géométrie au sens « science des figures » disparait alors des mathématiques. De nos jours, on parle de géométrie algébrique, de géométrie analytique, de géométrie différentielle. 3. La fonction mathématique Zêta, percerait le secret des nombres premiers. Si l'on sait définir les nombres premiers, des nombres ayant comme diviseur 1 ou le nombre lui-même, leur ordre d'apparition dans les nombres est encore un mystère. Riemann, un mathématicien allemand formula en 1859 l'hypothèse qu'une fonction mathématique très particulière, dite Zêta, percerait ce secret des nombres premiers. Tout nombre premier vérifie cette fonction Zêta. Cette hypothèse n'a jamais été validée. Cette hypothèse se vérifie dans certains états particuliers de la matière. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, est une séquence des nombres premiers. La liste des nombres premiers est infinie. Dire si un nombre est premier ou pas est facile mais prévoir quel nombre premier devrait occuper tel ou tel rang dans la séquence est encore impossible à le dire en cette date. Les nombres premiers seraient des solutions d'une équation ou fonction mathématique analytique Zêta. L'ordinateur a permis d'identifier une liste de nombres premiers mais aucune preuve écrite de la caractérisation de ces nombres n'est donnée. L'ordre d'apparition des nombres premiers serait lié aux différents états énergétiques de l'électron. Cette fonction Zêta régente également l'organisation des électrons dans la matière. L'une des conjectures les plus abstraites des mathématiques serait soluble dans la matière [4]. *Universitaire Références 1. L'Enseignement du Boudha. Bukkyo Dendo Kyokai. Kosaido Printing Co., Ltd, Tokyo, Japan, 1979, p261. 2. Quadrature du cercle. http://fr.wikipedia.org/wiki/Quadrature_du_cercle 3. Maurice Arvonny. Histoire d'Euclide aux géométries de l'impossible. Science & Vie- NÚ910- Juillet 1993, pp. 46-51. 4. Mathieu Grousson. Nombres premiers. Ils se cachent dans la matière. Fondamentale/ Mathématiques, Science & Vie, NÚ1107- décembre 2009, pp. 92-96.
